Phương pháp giải:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

Bước 1: Tính \(y'\), giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right]\).

Bước 2: Tính \(f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

Bước 3: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\};\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = \dfrac{x}{{{x^2} + 4}} \Rightarrow y' = \dfrac{{1.\left( {{x^2} + 4} \right) - 2x.x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = \dfrac{{4 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2 \notin \left[ {1;5} \right]\\x = 2 \in \left[ {1;5} \right]\end{array} \right.\)

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\) có: \(y\left( 1 \right) = \dfrac{1}{5};\,\,y\left( 2 \right) = \dfrac{1}{4};\,y\left( 5 \right) = \dfrac{5}{{29}}\,\, \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;5} \right]} y = \dfrac{1}{4}\).

Chọn: B