Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = a\,\)hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  - \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  - \infty \,\)thì \(x = a\)  là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {4{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{2}{x}}}{{\sqrt {4 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = \dfrac{1}{2};\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {4{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{2}{x}}}{{ - \sqrt {4 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} =  - \dfrac{1}{2}\)

 \( \Rightarrow \) Đồ thị \(\left( C \right)\) có TCN là \(y = \dfrac{1}{2},\,\,y =  - \dfrac{1}{2}\)

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^ - }} \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {4{x^2} - 1} }} =  - \infty ;\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^ + }} \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {4{x^2} - 1} }} =  - \infty \)

\( \Rightarrow \) Đồ thị \(\left( C \right)\) có TCĐ là \(x =  - \dfrac{1}{2},\,\,x = \dfrac{1}{2}\)

Đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) có tất cả 4 đường tiệm cận.

Chọn: A