Câu hỏi
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 120^\circ ,\,AB = AC = a\). Quay tam giác ABC (bao gồm điểm trong tam giác) quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay đó bằng:
- A \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\).
- B \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{4}\).
- C \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
- D \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
Phương pháp giải:
Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AB ta được khối tròn xoay có thể tích \({V_1}\) thể tích khối nón lớn có đỉnh B và thiết diện qua trục là BDC (hình vẽ) trừ đi \({V_2}\) thể tích khối nón nhỏ có đỉnh A và thiết diện qua trục là ADC.
Lời giải chi tiết:
Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AB ta được khối tròn xoay có thể tích \({V_1}\) thể tích khối nón lớn có đỉnh B và thiết diện qua trục là BDC (hình vẽ) trừ đi \({V_2}\) thể tích khối nón nhỏ có đỉnh A và thiết diện qua trục là ADC.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy của hai khối nón
Xét tam giác AOC vuông tại O, có: \(\sin 60^\circ = \dfrac{{OC}}{{AC}} \Rightarrow O{\rm{AC}}\sin 60^\circ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\)
\(\cos 60^\circ = \dfrac{{AO}}{{AC}} \Rightarrow OA = AC\cos 60^\circ = \dfrac{a}{2} \Rightarrow OB = \dfrac{3}{2}a\)
\(V = {V_1} - {V_2} = \dfrac{1}{3}BO.\pi ,O{C^2} - \dfrac{1}{3}OA.\pi O{C^2} = \dfrac{1}{3}\pi O{C^2}\left( {BO - OA} \right) = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)^2}a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{4}\)
Chọn: B
Câu hỏi trước
