Phương pháp giải:

+) Tính khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ.

+) Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\)

\(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow {y_M} = \dfrac{{{x_M} + 1}}{{{x_M} - 1}} \Rightarrow M\left( {{x_M};\dfrac{{{x_M} + 1}}{{{x_M} - 1}}} \right)\)

Đặt: \(d\left( M \right) = d\left( {M;Ox} \right) + d\left( {M;Oy} \right) = \left| {{x_M}} \right| + \left| {\dfrac{{{x_M} + 1}}{{{x_M} - 1}}} \right|\)

Nhận xét: Với \(M\left( {0;1} \right)\) thì ta có: \(d\left( M \right) = 1\). Do đó, để tìm GTNN của \(d\left( M \right)\) ta chỉ cần xét khi \(\left| x \right| \le 1\,\,\, \Rightarrow \, - 1 \le x \le 1\)

* Nếu \(0 \le x < 1\) thì \(d\left( M \right) = g\left( x \right) = x - \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = 1 + \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right)\,\,\, \Rightarrow g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right)\) do đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right)} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = 1\)

* Nếu \( - 1 \le x \le 0\) thì \(d\left( M \right) = g\left( x \right) =  - x - \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

Ta có: \(g'\left( x \right) =  - 1 + \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\,\, \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2  \notin \left[ { - 1;0} \right]\\x = 1 - \sqrt 2  \in \left[ { - 1;0} \right]\end{array} \right.\)

Ta có: \(g\left( 0 \right) = 1,\,g\left( { - 1} \right) = 1,\,g\left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2  - 2\)

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right)} g\left( x \right) = g\left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2  - 2\)

Do đó, \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) thỏa mãn đề bài là: \(M\left( {1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right)\) suy ra: \({x_M} + {y_M} = 2 - 2\sqrt 2 \)

Chọn: D