Phương pháp giải:

\(V = {S_{\Delta ANP}}.MN\), V max \( \Leftrightarrow {S_{\Delta ANP}}\) max, sử dụng BĐT Cô-si.

Lời giải chi tiết:

Đáy là tam giác cân có cạnh bên là x (cm) và cạnh đáy là \(24 - 2x\,\,\left( {cm} \right)\,\,\left( {x < 12} \right)\).

Gọi H là trung điểm của NP \( \Rightarrow AH \bot NP\).

Xét tam giác vuông ANH có: \(AH = \sqrt {A{N^2} - N{H^2}}  = \sqrt {{x^2} - {{\left( {12 - x} \right)}^2}}  = \sqrt {24x - 144} \) (ĐK: \(24x - 144 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 6\)).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ANP}} = \frac{1}{2}AH.NP = \frac{1}{2}\sqrt {24x - 144} .\left( {24 - 2x} \right) = S\)

\( \Rightarrow V = {S_{ANP}}.AB;\,\,{V_{\max }} \Leftrightarrow {S_{ANP\,\,\max }}\)  (Do AB không đổi).

Ta có: 

\(\begin{array}{l}{S^2} = \frac{1}{4}{\left( {24 - 2x} \right)^2}\left( {24x - 144} \right) = \frac{1}{{{{4.6}^2}}}{\left( {144 - 12x} \right)^2}\left( {24x - 144} \right)\\ \le \frac{1}{{{{4.6}^2}}}{\left( {\frac{{144 - 12x + 144 - 12x + 24x - 144}}{3}} \right)^2} = \sqrt {786}  = 16\sqrt 3 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 144 - 12x = 24x - 144 \Leftrightarrow x = 8\).

Chọn A.