Phương pháp giải:

a)  Tính giá trị vế phải theo các quy tắc:

 +) Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức không có dấu ngoặc:

Lũy thừa \( \to \) Nhân và chia \( \to \) Cộng và trừ

 +) Thứ tự thực hiện các phép tính đối với biểu thức có dấu ngoặc:      \((\,\,)\,\, \to {\rm{[}}\,\,{\rm{]}}\,\, \to {\rm{\{ }}\,\,{\rm{\} }}\) 

- Áp dụng quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” đổi thành dấu “–” và dấu “–” thành dấu “+”.

b) Áp dụng tính chất \(\left| a \right|\,\, \ge \,\,0\,\,\)với mọi \(a \in \mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\;{\left| { - 2} \right|^{10}} - (x + 24) = 80 - \left[ {( - 4){{.5}^2} + {2^4}.5} \right]\\\;\;\;\;\;{2^{10}} - (x + 24)\;\;\; = 80 - \left[ {( - 4).25 + 16.5} \right]\\\;\;\;\;1024 - (x + 24) = 80 - \left[ { - 100 + 80} \right]\\\;\;\;\;1024 - x - 24 = 80 + 100 - 80\\\;\;\;\;1024 - 24 - x = 80 - 80 + 100\\\;\;\;\;\;1000 - x\;\;\;\;\;\;\; = 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;x\;\;\;\;\;\;\; = 1000 - 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;x\;\;\;\;\;\;\; = 900.\end{array}\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| \ge 0\\\left| {y + 5} \right| \ge 0\end{array} \right.\,\,\) (với mọi \(x \in \mathbb{Z}\,,\,\,\,y \in \mathbb{Z}\))

Vì \(1 = 1 + 0 = 0 + 1\) nên suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| = 0\\\left| {y + 5} \right| = 1\end{array} \right.\,\,\) hoặc  \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| = 1\\\left| {y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\,\,\)         

+) Trường hợp 1:   \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| = 1\\\left| {y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\,\,\)            

  \(\left| {x - 4} \right| = 0\,\, \Rightarrow \,\,x - 4 = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,x = 4\)   

  \(\left| {y + 5} \right| = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,y + 5 = 1\) hoặc \(y + 5 = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,y =  - 4\)  hoặc \(y =  - 6\)

  Với trường hợp 1 có hai cặp (x; y) thỏa mãn là \(x = 4\,;\,\,y =  - 4\,\) và \(x = 4\,;\,\,y =  - 6\).

+) Trường hợp 2:   \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| = 1\\\left| {y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\,\,\)                

 \(\left| {x - 4} \right| = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,x - 4 = 1\) hoặc \(x - 4 =  - 1\,\,\, \Rightarrow \,\,x = 5\)  hoặc \(x = 3\)

 \(\left| {y + 5} \right| = 0\,\, \Rightarrow \,\,y + 5 = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,y =  - 5\)

 Với trường hợp 2 có hai cặp (x; y) thỏa mãn là \(x = 3\,\,;\,\,y =  - 5\,\) và \(x = 5\,\,;\,\,y =  - 5\).

Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài: \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {4; - 4} \right);\;\left( {4; - 6} \right);\;\left( {3; - 5} \right);\;\left( {5; - 5} \right)} \right\}.\)

Chọn A.