Câu hỏi
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(\widehat {BAD} = {120^0}\), M là trung điểm của BC và \(\widehat {SMA} = {45^0}\). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
- A \(d = a\sqrt 3 \)
- B \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
- C \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
- D \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Phương pháp giải:
\(d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.BCD}}}}{{{S_{SBC}}}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\widehat {BAD} = {120^0} \Rightarrow \widehat {ABC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABC\) đều cạnh a \( \Rightarrow AM \bot BC\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).
Tam giác vuông SAM có \(\widehat {SMA} = {45^0} \Rightarrow \Delta SAM\) vuông cân tại A \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\SM = AM\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {S_{SBC}} = \frac{1}{2}SM.BC = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\).
Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{4} \Rightarrow {V_{S.BCD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}}}{8}\).
Vậy \(d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.BCD}}}}{{{S_{SBC}}}} = \frac{{\frac{{3{a^3}}}{8}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
Chọn C.
Câu hỏi trước
