Câu hỏi
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, qua trung điểm I của AB dựng đường thẳng (d) vuông góc với (ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho \(SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Khoảng cách từ C đến (SAD) là:
- A \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
- B \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
- C \(a\)
- D \(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Phương pháp giải:
\(d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{\Delta SCD}}}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SA \Rightarrow \Delta SAD\) vuông tại A.
Xét tam giác vuông SAI có : \(SA = \sqrt {S{I^2} + A{I^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} = a\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta SAD}} = \frac{1}{2}SA.AD = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Ta có : \({V_{C.SAD}} = {V_{S.ACD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.SI.{S_{ABCD}} = \frac{1}{6}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Vậy \(d\left( {C;\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{\Delta SCD}}}} = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{{a^2}}}{2}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn B.
Câu hỏi trước
