Phương pháp giải:

+) Kẻ \(BE//AC\,\,\left( {E \in CD} \right)\) \( \Rightarrow AC//\left( {SBE} \right) \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\).

+) \(d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABE}}}}{{{S_{SBE}}}}\).

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(BE//AC\,\,\left( {E \in CD} \right)\)

\( \Rightarrow AC//\left( {SBE} \right) \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\).

Dễ thấy ABEC là hình bình hành \( \Rightarrow BE = AC = a\sqrt 2 \).

\(\widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA} = {45^0} \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A

\( \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông SAB có: \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {2{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác vuông ADE có: \(AE = \sqrt {A{D^2} + D{E^2}}  = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = a\sqrt 5 \)

Xét tam giác vuông SAE có: \(SE = \sqrt {S{A^2} + A{E^2}}  = \sqrt {2{a^2} + 5{a^2}}  = a\sqrt 7 \).

\( \Rightarrow {S_{SBE}} = \sqrt {\dfrac{{a\sqrt 3  + a\sqrt 2  + a\sqrt 7 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2  + a\sqrt 7  - a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3  + a\sqrt 2  - a\sqrt 7 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3  + a\sqrt 7  - a\sqrt 2 }}{2}}  = \dfrac{{{a^2}\sqrt 5 }}{2}\)

Ta có:

\({S_{ABE}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {E;AB} \right) = \dfrac{1}{2}.a.a = \dfrac{1}{2}{a^2}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABE}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABE}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

Mà \({V_{S.ABE}} = \dfrac{1}{3}{S_{SBE}}.d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABE}}}}{{{S_{SBE}}}} = \dfrac{{\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}\)

Chọn A.