Câu hỏi
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = m - 4\cos x - {\cos ^2}x\) là 7. Xác định giá trị của m?
- A \(3\)
- B \(-3\)
- C \(4\)
- D \(7\)
Phương pháp giải:
- Viết lại hàm số sao cho có thể dựa vào bất đẳng thức \(\left| {\cos x} \right| \le 1\) để xét miền giá trị của hàm số
- Ta có viết: \(y = m - 4\cos x - {\cos ^2}x = m + 4 - {\left( {\cos x + 2} \right)^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y = m - 4\cos x - {\cos ^2}x = m + 4 - \left( {{{\cos }^2}x - 4\cos x + 4} \right) = m + 4 - {\left( {\cos x + 2} \right)^2}\)
Vì \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow \,1 \le \cos x + 2 \le 3\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 \le {\left( {\cos x + 2} \right)^2} \le 9 \Leftrightarrow - 9 \le - {\left( {\cos x + 2} \right)^2} \le - 1\\ \Rightarrow m + 4 - 9 \le m + 4 - {\left( {\cos x + 2} \right)^2} \le m + 4 - 1\\ \Rightarrow m - 5 \le m + 4 - {\left( {\cos x + 2} \right)^2} \le m + 3\end{array}\)\(\)
Giá trị lớn nhất của hàm số là \(m + 3\) tại \(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = - \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy \(m + 3 = 7 \Leftrightarrow m = 4\)
Chọn C.