Phương pháp giải:

- Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số theo a.

- Dựa vào điều kiện \(M + m = 6 + 4\sqrt 2 \), xác định phương trình ẩn a.

- Giải phương trình tìm a.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\sin x + 1 + {a^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R},\) nên hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\).

Vì \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow  - 1 + 1 + {a^2} \le \sin x + 1 + {a^2} \le 1 + 1 + {a^2} \Leftrightarrow {a^2} \le \sin x + 1 + {a^2} \le {a^2} + 2.\)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 4\sqrt {{a^2} + 2}  - 1\\m = 4\sqrt {{a^2}}  - 1 = 4\left| a \right| - 1 = 4a - 1\;\;\left( {do\;\;a > 0} \right)\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M + m = 6 + 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 4\sqrt {{a^2} + 2}  - 1 + 4a - 1 = 6 + 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 4\sqrt {{a^2} + 2}  + 4a = 4\sqrt 2  + 8\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 2}  + a = \sqrt 2  + 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 2}  - 2 + a - \sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt {{a^2} + 2}  - 2} \right)\left( {\sqrt {{a^2} + 2}  + 2} \right)}}{{\sqrt {{a^2} + 2}  + 2}} + a - \sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - 2}}{{\sqrt {{a^2} + 2}  + 2}} + a - \sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {a - \sqrt 2 } \right)\left( {a + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt {{a^2} + 2}  + 2}} + a - \sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - \sqrt 2 } \right)\left( {\frac{{a + \sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2}  + 2}} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow a - \sqrt 2  = 0\;\;\;\left( {do\;\;\frac{{a + \sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2}  + 2}} + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow a = \sqrt 2 \;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(a = \sqrt 2 .\)

Chọn A.