Phương pháp giải:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

+) Bước 1: Giải phương trình \(y' = 0\), xác định các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right]\).

+) Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

+) Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở bước 2 và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\).

\(y' = 3{x^2} - 6x - 9\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \notin \left[ {0;4} \right]\\x = 3 \in \left[ {0;4} \right]\end{array} \right.\).

Tính \(y\left( 0 \right) = 1;\,\,y\left( 3 \right) =  - 26;\,y\left( 4 \right) =  - 19\). Suy ra \(M = 1,\,\,m =  - 26 \Rightarrow m + 2M =  - 24\).

Chọn B.