Lời giải chi tiết:

Do hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) tương đương với hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\).

Cách giải:

Do hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) tương đương với hàm số đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(y' = 3{x^2} - 12x + m \ge 0\), \(\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow m \ge  - 3{x^2} + 12x\), \(\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} \left( { - 3{x^2} + 12x} \right)\).

Xét hàm số \(y =  - 3{x^2} + 12x\) có hoành độ đỉnh là \({x_0} =  - \frac{b}{{2a}} = 2\).

Và \(y\left( 2 \right) = 12\), \(y\left( 0 \right) = 0\). Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} \left( { - 3{x^2} + 12x} \right) = y\left( 2 \right) = 12\).

Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \(m \in \left\{ {12;13;14;...;2017} \right\}\). Suy ra có \(2017 - 12 + 1 = 2006\) giá trị nguyên của tham số \(m\) cần tìm.

Chọn D.