Phương pháp giải:

- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

- Tính bán kính mặt cầu.

- Tính thể tích khối cầu: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SC

Ta có: \(IO\) là đường trung bình của tam giác SAC \( \Rightarrow IO//SA\)

Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tam giác SAC vuông tại A, I là trung điểm của SC

\( \Rightarrow IS = IC = IA\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu là \(R = \frac{{SC}}{2}\)

ABCD là hình chữ nhật \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 \)

Tam giác SAC vuông tại A \( \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 5 a} \right)}^2}}  = a\sqrt {14} \)

\( \Rightarrow R = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\)

Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt {14} }}{2}} \right)^3} = \frac{{7\pi \sqrt {14} .{a^3}}}{3}\).

Chọn: C