Phương pháp giải:

b) Lập phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(y = 2x - 5\). Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2.

Thay \(x = 2\) vào phương trình hoành độ giao điểm để tìm m.

c) Tìm giao điểm của \(\left( d \right)\) với hai trục tọa độ Ox, Oy là A và B. OAB là tam giác vuông tại O. \({S_{\Delta OAB}} = 2.\) Từ đó tìm m.

Lời giải chi tiết:

a) Khi \(m = 0\), hãy vẽ \(\left( d \right)\) trên hệ trục tọa độ \(Oxy\).

Khi \(m = 0\) thì \(\left( d \right):\;\;y = 2x + 1\)  

Đồ thị của đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua 2 điểm \(\left( {0;1} \right),\,\,\,\left( {1;3} \right).\)

b) Tìm m để \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2x - 5\) tại điểm có hoành độ bằng 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và đường thẳng \(y = 2x - 5\) là

\(\left( {2 - m} \right)x + m + 1 = 2x - 5 \Leftrightarrow mx = m + 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Để \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2x - 5\) tại điểm có hoành độ bằng 2 thì \(x = 2\)  là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) hay \(2m = m + 6 \Leftrightarrow m = 6.\)

Vậy với \(m = 6\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) Tìm m để \(\left( d \right)\) cùng với các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Gọi A và B là giao điểm của \(\left( d \right)\) lần lượt với hai trục tọa độ Ox, Oy.

Tọa độ điểm A thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{m + 1}}{{m - 2}} \Rightarrow A\left( {\frac{{m + 1}}{{m - 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\frac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|\)

Tọa độ điểm B thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {2 - m} \right)x + m + 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow y = m + 1 \Rightarrow B\left( {0;m + 1} \right) \Rightarrow OB = \left| {m + 1} \right|\)

\({S_{\Delta OAB}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{OA.OB}}{2} = 2 \Leftrightarrow \left| {\frac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right|.\left| {m + 1} \right| = 4 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left| {m - 2} \right|\)

Trường hợp 1: \(m > 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left( {m - 2} \right) \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 9 = 0\) vô nghiệm.

Trường hợp 2: \(m < 2 \Rightarrow pt \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} =  - 4\left( {m - 2} \right) \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\m =  - 7\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy với \(m = 1\) hoặc \(m =  - 7\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn C.