Phương pháp giải:

1) \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1, điểm đó là điểm \(\left( {0;1} \right)\). Thay tọa độ vào hàm số để tìm m

3) \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 3x + 2\) tại một điểm nằm trên trục hoành, tìm điểm đó rồi thay tọa độ vào hàm số để tìm m

Lời giải chi tiết:

Cho hàm số \(y = \left( {m + 1} \right)x + m\) (với \(m \ne  - 1\) có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\)

1) Tìm giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1

Để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 \( \Rightarrow \) Điểm \(A\left( {0;1} \right)\) thuộc \(\left( d \right)\)

\( \Rightarrow 1 = \left( {m + 1} \right)0 + m \Leftrightarrow m = 1\).

Vậy với \(m = 1\) đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1.

2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) với giá trị m tìm được ở câu 1

Với \(m = 1\) thì \(\left( d \right):\,y = 2x + 1\)

Ta có:

Đồ thị hàm số \(\left( d \right):\,y = 2x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0;1} \right)\) và \(\left( {1;3} \right)\)

3) Tìm giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 3x + 2\) tại một điểm nằm trên trục hoành

Gọi đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = 3x + 2\) tại một điểm B nằm trên trục hoành

\( \Rightarrow \) B là giao điểm của đường thẳng \(y = 3x + 2\) với trục hoành \( \Rightarrow \,\,B\left( { - \frac{2}{3};0} \right)\)

Vì B cũng thuộc \(\left( d \right)\) \( \Rightarrow 0 = \left( {m + 1} \right)\left( { - \frac{2}{3}} \right) + m \Leftrightarrow \frac{1}{3}m - \frac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 2\)

Vậy với \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn A.