Phương pháp giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có hệ số góc : \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm.

Theo đề bài, ta có: \({y_0} = 5\)\( \Rightarrow 5 = \frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} - 2}} \Leftrightarrow 5{x_0} - 10 = 2{x_0} - 1 \Leftrightarrow {x_0} = 3\)

\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{2.\left( { - 2} \right) - 1.\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 3 \right) = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {3 - 2} \right)}^2}}} =  - 3\)

Vậy, tiếp tuyến với đồ thị \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\) tại điểm có tung độ bằng 5 có hệ số góc \(k =  - 3\).

Chọn: C