Phương pháp giải:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a > 0} \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \supset \left[ {2;5} \right] \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {2;5} \right]\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} y = y\left( 2 \right) = 2m + 3 =  - 3 \Leftrightarrow m =  - 3\).

Chọn đáp án A.