Phương pháp giải:

+) Gọi \(M\left( {m;{m^2} + 2m - 1} \right) \in \left( P \right)\)

+) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại M.

+) Xác định tọa độ các điểm A, B và tính độ dài OA, OB.

+) Tính diện tích tam giác OAB và tìm M.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {m;{m^2} + 2m - 1} \right) \in \left( P \right)\)

Ta có: \(y' = 2x + 2 \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại M là:

\(y = \left( {2m + 2} \right)\left( {x - m} \right) + {m^2} + 2m - 1 \Leftrightarrow y = \left( {2m + 2} \right)x - {m^2} - 1\,\,\left( d \right)\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - {m^2} - 1 \Rightarrow B\left( {0; - {m^2} - 1} \right) \Rightarrow OB = {m^2} + 1\)

Cho \(y = 0 \Leftrightarrow \left( {2m + 2} \right)x - {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2m + 2} \right)x = {m^2} + 1\)

Nếu \(m =  - 1 \Leftrightarrow 0x = 2\) (vô nghiệm) \( \Rightarrow x = \frac{{{m^2} + 1}}{{2m + 2}} \Rightarrow A\left( {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m + 2}};0} \right) \Rightarrow OA = \frac{{{m^2} + 1}}{{\left| {2m + 2} \right|}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left( {{m^2} + 1} \right).\frac{{{m^2} + 1}}{{\left| {2m + 2} \right|}} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{m^2} + 1} \right)^2} = 2\left| {m + 2} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} = \left| {m + 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\{a^3} + 2a - 1 = 0\end{array} \right.\,\,\left( {Casio} \right)\end{array}\) 

\( \Rightarrow \) Có 2 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án A.