Lời giải chi tiết:

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A xuống \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

\(AH \cap DK = O.\) Khi đó O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.

Ta có: \(DH = \frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}}  = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }};\,\,IK = \frac{1}{2}.\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

\(DK = \sqrt {D{I^2} - I{K^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2} - {{\left( {\frac{a}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta DOH \sim \Delta DIK \Rightarrow \frac{{OH}}{{DH}} = \frac{{IK}}{{DK}} \Rightarrow OH = DH.\frac{{IK}}{{DK}}\\ \Rightarrow r = OH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\frac{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}}{{\frac{{2a\sqrt 6 }}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\end{array}\)

Chọn đáp án B.