Phương pháp giải:

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Tính bán kính mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của AB; G là trọng tâm tam giác SAB; O là tâm của hình vuông ABCD

Do tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SM \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {SMO} = {90^0}\). Dựng hình chữ nhật GMOI. Khi đó:

\(OI//GM \Rightarrow OI \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IA = IB = IC = ID\)(1)

Mặt khác,  \(GI//MO\), mà \(MO \bot AB,\,\,MO \bot SM \Rightarrow MO \bot \left( {SAB} \right)\)

\( \Rightarrow GI \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow IA = IS = IB\)(2)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\)

Ta có: G là trọng tâm tam giác đều SAB \( \Rightarrow GM = \frac{1}{3}.SM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow OB = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(GMOI\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow IB = \sqrt {O{I^2} + O{B^2}}  = \sqrt {\frac{1}{{12}}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2}}  = \sqrt {\frac{7}{{12}}} a = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\).

Vậy, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:  \(\frac{{a\sqrt {21} }}{6}\).

Chọn: A