Phương pháp giải:

+) Xác định trục mặt đáy (đường thẳng đi qua tâm đáy và vuông góc với đáy).

+) Xác định trục của cạnh bên SA.

+) Xác định giao điểm của hai trục trên, đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AB, BC, SA; G là trọng tâm tâm giác ABC

Mà tam giác ABC đều \( \Rightarrow \) G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trong (SAN), dựng đường thẳng qua G song song SA, đường thẳng qua I song song AN, chúng cắt nhau tại O

Khi đó, \(OA = OB = OC = \,OS\) hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\)

I là trung điểm của SA \( \Rightarrow IA = \frac{{SA}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a = 3\,(cm)\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a = 3cm \Rightarrow AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{3.\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

Tứ giác \(AGOI\)có: \(OG//AI,\,\,OI//AG \Rightarrow AGOI\) là hình bình hành

Mà \(\widehat A = {90^0} \Rightarrow AGOI\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow OA = \sqrt {A{I^2} + A{G^2}}  = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow \)Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là: \(R = 2\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow \)Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi .{\left( {2\sqrt 3 } \right)^3} = 32\sqrt 3 \pi \left( {c{m^3}} \right)\).

Chọn: C