Phương pháp giải:

+) Xác định trục của mặt đáy (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

+) Xác định đường trung trực của cạnh bên SA.

+) Xác định giao điểm của 2 đường thẳng trên, đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

+) Áp dụng định lí Pytago để tính bán kính mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của AC, AB và SC ta có;

\(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (\(\Delta ABC\) vuông tại B)

\(IE//SA \Rightarrow IE \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IA = IB = IC\,\,\left( 1 \right)\)

\(IF//AC \Rightarrow IF \bot SA \Rightarrow IS = IA\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC và \(R = \frac{{SC}}{2}\)

Xét tam giác vuông ABC có: \(AC = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}}  = 2a\)

Xét tam giác vuông SAC có: \(SC = \sqrt {4{a^2} + 4{a^2}}  = 2\sqrt 2 a\)

Vậy \(R = \frac{{2\sqrt 2 a}}{2} = a\sqrt 2 \).

Chọn đáp án C.