Phương pháp giải:

Hàm bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có GTLN trên \(\left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow  - \frac{d}{c} \notin \left[ {a;b} \right]\)

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = \frac{{mx - 1}}{{2x + m}},\,\,\left( {x \ne  - \frac{m}{2}} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{{m^2} + 2}}{{{{\left( {2x + m} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \ne  - \frac{m}{2}\,\)

Để hàm số đạt GTLN bằng 2 trên đoạn \(\left[ {3;5} \right]\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l} - \frac{m}{2} < 3\\ - \frac{m}{2} > 5\end{array} \right.\\f\left( 5 \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m >  - 6\\m <  - 10\end{array} \right.\\\frac{{5m - 1}}{{10 + m}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m >  - 6\\m <  - 10\end{array} \right.\\5m - 1 = 20 + 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m >  - 6\\m <  - 10\end{array} \right.\\m = 7\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Chọn: A