Phương pháp giải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma  \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha  \right) \cap \left( \gamma  \right),b = \left( \beta  \right) \cap \left( \gamma  \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha  \right);\left( \beta  \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(AH \bot BC,\,\,\left( {H \in BC} \right)\)

Ta có:  \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\)

\(BC \bot AH,\,\,BC \bot SA\,\,\left( {do\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\)

 \( \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SH;AH}} \right) = \widehat {SHA} = {45^0}\)

 \(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {a^2}}  = 2\sqrt 2 a\) và

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 a.a = \sqrt 2 {a^2}\)

\(AH \bot BC \Rightarrow AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \frac{{2\sqrt 2 a.a}}{{3a}} = \frac{{2\sqrt 2 a}}{3}\)

\(\Delta SAH\) vuông tại A, \(\widehat {SHA} = {45^0} \Rightarrow \Delta SAH\) vuông cân tại A \( \Rightarrow SA = AH = \frac{{2\sqrt 2 a}}{3}\)

Thể tích khối chóp \(S.ABC\):  \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{2\sqrt 2 a}}{3}.\sqrt 2 {a^2} = \frac{4}{9}{a^3}\).

Chọn: A