Phương pháp giải:

+) Tìm TXĐ \(x \ne {x_0}\)

+) Để hàm số đồng biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\\{x_0} \notin \left( {a;b} \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ m \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{ - {m^2} + 4m + 5}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}y' > 0\\m \notin \left( {0;2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 4m + 5 > 0\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 5\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left( { - 1;0} \right] \cup \left[ {2;5} \right)\)

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C.