Phương pháp giải:

+) Xác định các điểm M, N.

+) Chứng minh tam giác AMN vuông tại N.

+) Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(AM \bot SC\,\,\left( {M \in SC} \right)\), \(MN \bot SC\,\,\left( {N \in SB} \right) \Rightarrow \left( \alpha  \right) \equiv \left( {AMN} \right) \Rightarrow SC \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow SC \bot AN\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AN\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AN \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AN \bot MN \Rightarrow \Delta AMN\) vuông tại N.

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AM và CM.

\(\Delta AMN\) vuông tại N \( \Rightarrow E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

Gọi I là trung điểm của AM ta có :

\(IE//CM \Rightarrow IE \bot \left( {AMN} \right) \Rightarrow IA = IM = IN\,\,\left( 3 \right)\)

\(IF//AM \Rightarrow IF \bot CM \Rightarrow IC = IM\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp ACMN.

Tam giác ABC vuông cân tại B có \(AB = 6 \Rightarrow AC = 6\sqrt 2  \Rightarrow IC = 3\sqrt 2  = R\)

\( \Rightarrow {S_{cau}} = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 72\pi \).

Chọn đáp án D.