Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(y = 2x + m\):

       \(\frac{{2x + 3}}{{x - 2}} = 2x + m,\,\,\left( {x \ne 2} \right)\,\, \Leftrightarrow 2x + 3 = \left( {2x + m} \right)\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 6} \right)x - 2m - 3 = 0\) (*)

Dễ dàng kiểm tra được \(x = 2\) không phải nghiệm của phương trình (*) với mọi m

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\)thì \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 6} \right)^2} + 8\left( {2m + 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 60 > 0\), luôn đúng

\(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 2}} \Rightarrow y' =  - \frac{7}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại hai điểm giao song song với nhau

  \( \Leftrightarrow  - \frac{7}{{{{\left( {{x_1} - 2} \right)}^2}}} =  - \frac{7}{{{{\left( {{x_2} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - 2} \right)^2} = {\left( {{x_2} - 2} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{x_1} + {x_2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 4\)

Theo Vi – ét, ta có: \({x_1} + {x_2} =  - \frac{{m - 6}}{2} \Rightarrow  - \frac{{m - 6}}{2} = 4 \Leftrightarrow m - 6 =  - 8 \Leftrightarrow m =  - 2\)

Vậy, có 1 giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn: D