Phương pháp giải:

Hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) đồng biến trên \(\left( {{x_1};\;x_2} \right) \Leftrightarrow y' > 0\;\;\forall \;{x_1} < x < {x_2}.\;\;\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x\ne -3m.\)

Ta có: \(y'=\frac{3m-2}{{{\left( x+3m \right)}^{2}}}.\)

Hàm số đồng biến trên khoảng  \(\left( { - \infty ; - 6} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y' > 0\;\forall x \in \left( { - \infty ; - 6} \right)\\
- 3m\; \notin \left( { - \infty ; - 6} \right)
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>\frac{2}{3}\ \forall x\in \left( -\infty ;-6 \right) \\ & m<2 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow \frac{2}{3}<m<2\ \ \forall x\in \left( -\infty ;\ 6 \right).\)

Theo đề bài ta có: \(m\in Z\Rightarrow m=\left\{ 1;\ 2 \right\}.\)

Chọn A.