Phương pháp giải:

+ Sử dụng công thức đạo hàm \({\left[ {f\left( u \right)} \right]^\prime } = u'.f'\left( u \right)\) để tính đạo hàm hàm số \(h\left( x \right)\).

+ Từ yêu cầu đề bài ta cần tìm \(x\) để \(h'\left( x \right) \ge 0\)

+ Dựa vào đồ thị hàm số để suy ra khoảng đồng biến cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(h\left( x \right) = f\left( {x + 4} \right) - g\left( {2x - \frac{3}{2}} \right)\) \( \Rightarrow h'\left( x \right) = f'\left( {x + 4} \right) - 2g'\left( {2x - \frac{3}{2}} \right)\)

Từ đề bài ta có \(h'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( {x + 4} \right) \ge 2g'\left( {2x - \frac{3}{2}} \right)\)

Đặt \({t_1} = x + 4;\,{t_2} = 2x - \frac{3}{2}\) ta có \(f'\left( {{t_1}} \right) \ge 2g'\left( {{t_2}} \right)\)

Từ đồ thị hàm số suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3 \le {t_1} \le 10\\3 \le {t_2} \le 10\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le x + 4 \le 10\\3 \le 2x - \frac{3}{2} \le 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 6\\\frac{9}{4} \le x \le \frac{{23}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{9}{4} \le x \le \frac{{23}}{4}\)

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {\frac{9}{4};3} \right).\)

Chọn B.