Phương pháp giải:

+ Gọi \(z = x + yi.\,\)  Biến đổi \(\left( {\overline z  + i} \right)\left( {z + 2} \right)\) về dạng số phức.

+ Cho phần thực của số phức thu được bẳng \(0\) từ đó suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức \(z\)là một đường tròn dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)  và bán kính đường tròn là \(R.\)

Lời giải chi tiết:

+ Gọi \(z = x + yi.\,\)  Ta có \(\left( {\overline z  + i} \right)\left( {z + 2} \right)\)\( = \left( {x - yi + i} \right)\left( {x + yi + 2} \right)\) \( = \left( {x - \left( {y - 1} \right)i} \right)  \left( {x + 2 + yi} \right)\)

\( = x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y - 1} \right) + i\left[ {xy - \left( {y - 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right]\)

Vì  \(\left( {\overline z  + i} \right)\left( {z + 2} \right)\) là số thuần ảo nên phần thực \(x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + {y^2} - y = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4}\)

Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức \(z\) là một đường tròn bán kính bằng \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)

Chọn C.