Phương pháp giải:

Cho chóp tam giác có các cặp cạnh đối lần lượt bằng nhau , đoạn thẳng nối trung điểm của 2 cặp cạnh đối đó sẽ vuông góc với 2 cạnh đó

Lời giải chi tiết:

Ta có \(M{{B}^{2}}=\frac{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{125}{4}\)

Tương tự ta có \(M{{D}^{2}}=\frac{125}{4}\)

Suy ra : \(M{{N}^{2}}=\frac{M{{D}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\frac{B{{D}^{2}}}{4}=25\)

Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp chóp .  Vì MN là trung trực của BD và AC nên sẽ tồn tại một điểm trên MN cách đều cả 4 điểm A;B;C;D. Ta có hệ

\(\left\{ \begin{align}  & FM+FN=5 \\ & F{{M}^{2}}+{{\left( \frac{AC}{2} \right)}^{2}}=F{{N}^{2}}+{{\left( \frac{BD}{2} \right)}^{2}}=R \\\end{align} \right.=>FM=FN=\frac{5}{2}=>R=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

Chọn đáp án B