Phương pháp giải:

+) Chuyển vế và nhân cả hai vế với \({e^{ - x}}\).

+) Lấy nguyên hàm hai vế.

Lời giải chi tiết:

Chuyển vế và nhân cả hai vế với \({e^{ - x}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}{e^x} + 1\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}f\left( x \right) = {x^2} + {e^{ - x}}\end{array}\)

Ta có \(\left[ {f\left( x \right){e^{ - x}}} \right]' = f'\left( x \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {f\left( x \right){e^{ - x}}} \right]' = {x^2} + {e^{ - x}}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được \(f\left( x \right){e^{ - x}} = \frac{{{x^3}}}{3} - {e^{ - x}} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}{e^x}}}{3} - 1 + C{e^x}\)

Ta có \(f\left( 0 \right) =  - 1 \Leftrightarrow  - 1 + C =  - 1 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}{e^x}}}{3} - 1\)

\( \Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{{{3^3}.{e^3}}}{3} - 1 = 9{e^3} - 1\).

Chọn D.