Phương pháp giải:

+) Xác định góc giữa SD với (SAC).

+) Tính SA.

+) Tính \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}DO \bot AC\\DO \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow DO \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow SO\) là hình chiếu của SA trên \(\left( {SAC} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {SD;SO} \right)} = \widehat {\left( {SD;\left( {SAC} \right)} \right)} = {30^0}\).

\(\Delta SDO\) vuông tại O

\( \Rightarrow \widehat {DSO} = \widehat {\left( {SD;SO} \right)} = {30^0} \Rightarrow SO = DO.\cot {30^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).\(\Delta SAO\) vuông tại \(A \Rightarrow S{A^2} = S{O^2} - A{O^2} = \frac{{6{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2} = {a^2} \Rightarrow SA = a\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}\frac{1}{3}.a.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}\)

Chọn C.