Câu hỏi
Cho lăng trụ đều \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(AA’ = a\sqrt{2}\). Diện tích tam giác \(ACD’\) bằng \(\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{5}}{2}\). Tính thể tích lăng trụ.
- A \({a}^{3} \sqrt2\)
- B \(2{{a}^{3}}\)
- C \(4{{a}^{5}}\)
- D \(4{{a}^{3}}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(O = AC \cap BD\), do đó \(O\) là trung điểm của \(AC\).
Xét \(\Delta ADD'\) và \(\Delta CDD'\) có:
\(DD'\) chung;
\(AD = CD\,\,\left( {gt} \right)\);
\( \Rightarrow {\Delta _v}ADD' = {\Delta _v}CDD'\) (Cạnh huyền – cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow D'A = D'C \Rightarrow \Delta D'AC\) cân tại \(D'\).
\( \Rightarrow D'O \bot AC\).
Đặt cạnh hình vuông \(ABCD\) là \(x\) ta có: \(AC = BD = x\sqrt 2 \).
\({S_{ACD'}} = \dfrac{1}{2}D'O.AC\) \( \Leftrightarrow D'O = \dfrac{{2{S_{ACD'}}}}{{AC}}\)\( = \dfrac{{{a^2}\sqrt 5 }}{{x\sqrt 2 }}\).
\(BD = x\sqrt 2 \Rightarrow DO = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ODD'\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,D'{O^2} = D{O^2} + DD{'^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{a^2}\sqrt 5 }}{{x\sqrt 2 }}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{5{a^4}}}{{2{x^2}}} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2{a^2}\\ \Leftrightarrow 5{a^4} = {x^4} + 4{a^2}{x^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = x\\a = - \dfrac{1}{5}x\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow x = a \Rightarrow {S_{ABCD}} = {a^2}\).
Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {a^3}\sqrt 2 \).
Chọn A.
Câu hỏi trước
