Phương pháp giải:

+) Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x' = 2x\\
y' = y\\
z' = 3z
\end{array} \right.\)

Đưa phương trình về dạng phương trình mặt cầu và phương trình mặt phẳng.

+) Tìm điều kiện để mặt phẳng và mặt cầu cắt nhau.

Lời giải chi tiết:

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}
x' = 2x\\
y' = y\\
z' = 3z
\end{array} \right.\)  ta có \(x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}+z{{'}^{2}}=2x'+4z'+11\Leftrightarrow x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}+z{{'}^{2}}-2x'-4z'-11=0\,\,\left( S \right)\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( 1;0;2 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{1+4+11}=4\)

Gọi điểm \(M\left( x';y';z' \right)\) thỏa mãn điều kiện trên \(\Rightarrow M\in \left( S \right)\)

Ta có: \(P=4x+2y+3z=2x'+2y'+z'\Leftrightarrow 2x'+2y'+z'-P=0\,\,\left( \alpha  \right)\)

\(\Rightarrow M\in \left( \alpha  \right)\)

Để \(P=4x+2y+3z\) đạt giá trị lớn nhất, điều kiện cần là tồn tại M \(\Rightarrow \left( S \right)\) và \(\left( \alpha  \right)\) có điểm chung A

Vậy \({{P}_{\max }}=16\)

Chọn D.

..