Câu hỏi
Trong tất cả hình hộp chữ nhật nội tiếp cầu có bán kính R. Hình hộp có diện tích toàn phần lớn nhất có thể tích là:
- A \(\frac{8{{R}^{3}}}{3\sqrt{3}}\)
- B \(\frac{8{{R}^{3}}}{3}\)
- C \(\frac{8{{R}^{3}}}{\sqrt{3}}\)
- D \(\frac{{{R}^{3}}}{3\sqrt{3}}\)
Lời giải chi tiết:
* Đặt AB = a, BC = b, AA’ = c (a, b, c > 0)
* Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật nội tiếp cầu: \({{S}_{tp}}=2\left( ab+bc+ca \right)\)
* Bất đẳng thức Cosi: \(\left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab \\ & {{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2bc \\ & {{c}^{2}}+{{a}^{2}}\ge 2ca \\ \end{align} \right.\Rightarrow 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge {{S}_{tp}}\)
\(\Rightarrow {{S}_{tp}}\le 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=2A'{{C}^{2}}=8{{R}^{2}}\)
\(\Rightarrow\) Stp lớn nhất bẳng \(8{{R}^{2}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2R}{\sqrt{3}}\)
Khi đó hình hộp có diện tích toàn phần lớn nhất có thể tích là: \(V={{a}^{3}}={{\left( \frac{2R}{\sqrt{3}} \right)}^{3}}=\frac{8{{R}^{3}}}{3\sqrt{3}}\)
Chọn đáp án A
Câu hỏi trước
