Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị và \({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x + 3m\)

Để hàm số có 2 cực trị \( \Rightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow m < 1\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\) 

Ta có \(y = y'\left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}} \right) + 2x\left( {m - 1} \right) + 1\).

\(\begin{array}{l}{y_{CD}}.{y_{CT}} = 0 \Rightarrow \left[ {2\left( {m - 1} \right){x_1} + 1} \right]\left[ {2\left( {m - 1} \right){x_2} + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2}{x_1}{x_2} + 2\left( {m - 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4m{\left( {m - 1} \right)^2} + 4\left( {m - 1} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^3} - 8{m^2} + 8m - 3 = 0\end{array}\)

Phương trình này có 1 nghiệm duy nhất. Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.