Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right),\,\,y=0,\,\,\,x=a,\,\,x=b\) là \(V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích của vật tròn xoay là

\(V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{{{\tan }^{2}}x\text{d}x}\)\(=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)\text{d}x}\)\(=\pi \left. \left( \tan x-x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}\)\(=\pi \left( \tan \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{3} \right)\)\(=\pi \sqrt{3}-\frac{{{\pi }^{2}}}{3}\).

Chọn D