Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(x - m = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\,\,\left( {x \ne  - 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} + x - mx - m - 2x - 1 = 0\,\,\left( {x \ne  - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x - m - 1 = 0\,\,\left( {x \ne  - 1} \right)\,\,\,\left( * \right)\)

Đường thẳng \(d:\,\,y = x - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4\left( {m + 1} \right) > 0\\1 + m + 1 - m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\m + 1 <  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m >  - 1\\m <  - 5\end{array} \right.\).

Chọn C.