Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) (bằng 0 tại hữu hạn điểm).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\).

Ta có \(y' = 2x\left( {m - x} \right) - {x^2} =  - 3{x^2} + 2mx\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right) \Rightarrow y' =  - 3{x^2} + 2mx \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x\left( { - 3x + 2m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow  - 3x + 2m \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow m \ge \frac{{3x}}{2}\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow \frac{{3x}}{2} \in \left( {\frac{3}{2};3} \right);\,\,m \ge \frac{{3x}}{2}\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow m \ge 3\end{array}\)

Chọn D.