Phương pháp giải:

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = \infty  \Leftrightarrow x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x - m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{1}{x} - \frac{m}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}} = 0 \Rightarrow y = 0\) là TCN của đồ thị hàm số.

Ta có \({x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow y = \frac{{x - m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{x - m}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - m}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) có đúng hai tiệm cận thì đồ thị hàm số chỉ có 1 TCN \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\).

Chọn C.