Phương pháp giải:

Giải bất phương trình (1).

Để hệ phương trình có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn bất phương trình (1).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 4 \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3{x^2} - mx\sqrt x  + 16 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 \le x \le 4\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow m = \frac{{3{x^2} + 16}}{{x\sqrt x }}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 16}}{{x\sqrt x }}\) trên \(\left[ {1;4} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \frac{{6x.x\sqrt x  - \left( {3{x^2} + 16} \right)\frac{3}{2}\sqrt x }}{{{x^3}}} = \frac{{\sqrt x \left( {12{x^2} - 9{x^2} - 48} \right)}}{{2{x^3}}} = \frac{{\sqrt x \left( {3{x^2} - 48} \right)}}{{2{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 4\\f\left( 1 \right) = 19;\,\,f\left( 4 \right) = 8\\ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right) = 8;\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;4} \right]} f\left( x \right) = 19\end{array}\)

Do đó để hệ phương trình có nghiệm thì \(m \in \left[ {8;19} \right]\).

Chọn D.