Phương pháp giải:

+) Chứng minh tam giác ABC vuông tại B.

+) Xác định trục d của mặt phẳng (ABC).

+) Gọi I là giao điểm của d và trung trực của SB, khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(OA = OB = OC \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của O trên \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có \(\Delta OAB\) đều cạnh a \( \Rightarrow AB = a\).

\(\Delta OBC\) vuông cân tại O \( \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \).

Dễ dàng tính được \(AC = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B. Gọi H là trung điểm của AC \( \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\).

 Gọi K là trung điểm của BS. Qua K kẻ \(KI \bot SB\,\,\left( {I \in OH} \right)\). Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp chóp S.ABC.

Ta dễ dàng chứng minh được  

\(\Delta OKI \sim \Delta OHB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{KI}}{{HB}} = \frac{{OK}}{{OH}}\)

Tam giác ABC vuông tại B \( \Rightarrow BH = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tính được \(OH = \frac{a}{2};\,\,OK = \frac{{3a}}{4}\).

\( \Rightarrow KI = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).

Xét tam giác vuông SIK có \(IS = \sqrt {I{K^2} + K{S^2}}  = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Chọn C.