Lời giải chi tiết:

Gọi tiếp điểm là \(A({x_0};{y_0}),\,\,{x_0} \in \left[ {1;3} \right],\,\,{y_0} = x_0^3 + x_0^2 + 3x_0^{} + 1\)

\(y'({x_0}) = 3x_0^2 + 2x_0^{} + 3\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là: \(y = \left( {3x_0^2 + 2x_0^{} + 3} \right)(x - {x_0}) + x_0^3 + x_0^2 + 3x_0^{} + 1\) (d)

Vì  \(M(0;m) \in (d) \Rightarrow m = \left( {3x_0^2 + 2x_0^{} + 3} \right)(0 - {x_0}) + x_0^3 + x_0^2 + 3x_0^{} + 1\)

\( \Leftrightarrow m =  - 3x_0^3 - 2x_0^2 - 3{x_0} + x_0^3 + x_0^2 + 3x_0^{} + 1 \Leftrightarrow  - 2x_0^3 - x_0^2 + 1 = m\)  (2)

Ta tìm m để phương trình (2) có nghiệm \({x_0} \in \left[ {1;3} \right]\):

Xét hàm số \(y =  - 2{x^3} - {x^2} + 1 = f(x),\,\,x \in \left[ {1;3} \right]\),  \(f'(x) =  - 6{x^2} - 2x =  - x(3x + 1) < 0,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow \)Hàm số nghịch biến trên \(\left[ {1;3} \right]\)

\( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {1;3} \right]} f(x) = f(3) =  - 62,\mathop {Max}\limits_{\left[ {1;3} \right]} f(x) = f(1) =  - 2\)

\( \Rightarrow \)Phương trình (2) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \in \left[ { - 62; - 2} \right]\)

Mà \(m \in Z \Rightarrow \) Tập hợp các giá trị của m thỏa mãn là \(\left\{ { - 62; - 61;...; - 3; - 2} \right\}\): Có 61 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn: A