Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

   Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = a\,\)hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

   Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  - \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  - \infty \,\)thì \(x = a\)

 là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}}\). TXĐ: \(D = R{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{1}{1} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{{ - 1}}{1} =  - 1\,\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 2 TCN là \(y =  - 1;\,y = 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} =  + \infty \,,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} =  - \infty \,\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 TCĐ là \(x = 1\).

Vậy, đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận.

Chọn: A