Phương pháp giải:

Đặt \(\cos x = t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Khảo sát hàm số \(y = f(t) = \frac{{2t + 1}}{{t - 2}}\) ,\(\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Kết luận GTLN M và GTNN m của \(y = f(t) = \frac{{2t + 1}}{{t - 2}}\) hay \(y = \frac{{2\cos x + 1}}{{\cos x - 2}}\).\(\)

Lời giải chi tiết:

\(y = \frac{{2\cos x + 1}}{{\cos x - 2}}\)

Đặt \(\cos x = t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), hàm số trở thành \(y = f(t) = \frac{{2t + 1}}{{t - 2}},\,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Ta có: \(y' = f'(t) =  - \frac{5}{{{{(t - 2)}^2}}} < 0,\,\,\forall \,t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\,\left[ { - 1;1} \right]\)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f(t) = f( - 1) = \frac{1}{3} = M\\\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f(t) = f(1) =  - 3 = m\end{array} \right. \Rightarrow 9M + m = 0\)

Chọn: C