Phương pháp giải:

+) Gọi O là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow A'O \bot \left( {ABC} \right)\) .

+) Xác định khoảng cách giữa AA’ và BC bằng cách dựng đường vuông góc chung.

+) Tính A’O.

+) Tính \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'O.{S_{\Delta ABC}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow A'O \bot \left( {ABC} \right)\) . Gọi M là trung điểm của BC ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot A'O\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'MA} \right)\)

Trong (A’MA) kẻ \(MH \bot AA'\) ta có \(BC \bot MH \Rightarrow d\left( {AA';BC} \right) = MH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

\(\Delta ABC\) đều cạnh a \( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sin \widehat {HAM} = \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {HAM} = {30^0}\)

Xét tam giác vuông A’OA có : \(A'O = AO.\tan {30^0} = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{3}\) ; \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'O.{S_{\Delta ABC}} = \frac{a}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Chọn C.