Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), \(BA=a,BC=a\sqrt{3}\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA=a\). Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
- A
\(R = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
- B
\(R=\frac{a\sqrt{5}}{4}\)
- C
\(R=2a\sqrt{5}\)
- D \(R = a\sqrt 5\)
Phương pháp giải:
Dựng hình tìm tâm bán kính mặt cầu hoặc áp dụng công thức tính nhanh
Lời giải chi tiết:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC.\)
Ta có: \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\Rightarrow IA=IS=IC\) (tính chất đường trung tuyến)
Có: \(\left\{ \begin{align}& BC\bot SA \\& BC\bot AB \\\end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB.\)
\(\Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B \Rightarrow IS = IB = IC\) (tính chất đường trung tuyến).
\(\Rightarrow IS=IA=IB=IC\) hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,\) có
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\)
Tam giác \(SAC\) vuông tại \(C,\) có \(SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}\).
Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là
\(R = SI = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
Chọn A
Câu hỏi trước
