Phương pháp giải:

Hàm số đồng biến trên khoảng khi đạo hàm lớn hơn hoặc bằng 0 

Lời giải chi tiết:

Ta có \({y}'=x-m+\frac{1}{x-1}\).

Để hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}}{2}-mx+\ln \left( x-1 \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( 1;+\infty \right)\)

Thì \({y}'\ge 0\) với \(\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\) \(\Leftrightarrow x+\frac{1}{x-1}\ge m\) với \(\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\)\(\Rightarrow m\le \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right)=x+\frac{1}{x-1}\) trên \(\left( 1;+\infty \right),\) có \(f\left( x \right)=x-1+\frac{1}{x-1}+1\ge 2\sqrt{\left( x-1 \right)\frac{1}{\left( x-1 \right)}}+1\ge 3\) \(\Rightarrow \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=3\). Do \(m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\) nên \(m\in \left\{ 1;2;3 \right\}\).

Chọn A